第3章類似度に基づく推薦

準備

次のコードを書きなさい。

import pprint
import numpy as np

# 上位K件
TOP_K = 3

Du = np.array([
               [5, 3, +1],
               [6, 2, +1],
               [4, 1, +1],
               [8, 5, -1],
               [2, 4, -1],
               [3, 6, -1],
               [7, 6, -1],
               [4, 2, np.nan],
               [5, 1, np.nan],
               [8, 6, np.nan],
               [3, 4, np.nan],
               [4, 7, np.nan],
               [4, 4, np.nan],
])
I = np.arange(Du.shape[0])
x = Du[:,:-1]
ru = Du[:,-1]

Iu = I[~np.isnan(ru)]
Iup = I[ru==+1]
Iun = I[ru==-1]
Iu_not = np.setdiff1d(I, Iu)

ユーザプロファイル

ユーザ$u$のユーザプロファイル$\boldsymbol{p}_{u}$は次式で求められる。

\[\boldsymbol{p}_{u} = \frac{1}{\mid I_{u}^{+} \mid} \sum_{i \in I_{u}^{+}} \boldsymbol{x}_{i}\]

ここで、$I_{u}^{+}$は対象ユーザ$u$が「好き」と評価したアイテム集合であり、$\boldsymbol{x}_{i}$はアイテム$i$の特徴ベクトルである。

01 好きなアイテム集合に含まれるアイテムの特徴ベクトルの集合

xから$I_{u}^{+}$に含まれるアイテムの特徴ベクトルの集合をndarrayとして生成するコードを書きなさい。

コード

print('x[Iu+] = \n{}'.format(【    問01    】))

結果

x[Iu+] = 
[[5. 3.]
 [6. 2.]
 [4. 1.]]

★

整数配列インデキシングを使う。

★★

リスト内包表記を使う。

02 特徴ベクトルの総和

次式により、$I_{u}^{+}$に含まれるアイテムの特徴ベクトルの総和を求めるコードを書きなさい。

\[\sum_{i \in I_{u}^{+}} \boldsymbol{x}_{i}\]

コード

print('sum(x[Iu+]) = {}'.format(【    問02    】))

結果

sum(x[Iu+]) = [15.  6.]

★★

整数配列インデキシングを使う。
numpy.sum()を使う。

★★★

リスト内包表記を使う。
numpy.sum()を使う。

03 ユーザプロファイル

ユーザ$u$のユーザプロファイル$\boldsymbol{p}_{u}$をndarrayとして求めるコードを書きなさい。得られたndarrayをpuとすること。

コード

【    問03    】
print('pu = {}'.format(pu))

結果

pu = [5. 2.]

★★

整数配列インデキシングを使う。
numpy.sum()を使う。

★★★

リスト内包表記を使う。
numpy.sum()を使う。

コサイン類似度

ユーザプロファイル$\boldsymbol{p}_{u}$とアイテム$i$の特徴ベクトル$\boldsymbol{x}_{i}$のコサイン類似度は次式で定義される。

\[\mathrm{cos}(\boldsymbol{p}_{u}, \boldsymbol{x}_{i}) = \frac{\boldsymbol{p}_{u} \cdot \boldsymbol{x}_{i}}{\| \boldsymbol{p}_{u} \| \| \boldsymbol{x}_{i} \|}\]

ここで、$\boldsymbol{p}_{u} \cdot \boldsymbol{x}_{i}$は二つのベクトル$\boldsymbol{p}_{u}$と$\boldsymbol{x}_{i}$の内積であり、次式のように表される。

\[\boldsymbol{p}_{u} \cdot \boldsymbol{x}_{i} = \sum_{k=1}^{d} p_{u,k} x_{i,k}\]

$d$はベクトルの次元数である。また、$\| \boldsymbol{p}_{u} \|$はベクトル$\boldsymbol{p}_{u}$のノルム（大きさ）であり、次式のように表される。

\[\| \boldsymbol{p}_{u} \| = \sqrt{\boldsymbol{p}_{u} \cdot \boldsymbol{p}_{u}} = \sqrt{\sum_{k=1}^{d} p_{u,k}^{2}}\]

このコサイン類似度関数を次のコードのとおり定義する。

関数

def cos(pu, xi):
    """
    コサイン類似度関数：ユーザプロファイルpuとアイテムiの特徴ベクトルxiのコサイン類似度を返す。

    Parameters
    ----------
    pu : ndarray
        ユーザuのユーザプロファイル
    xi : ndarray
        アイテムiの特徴ベクトル

    Returns
    -------
    float
        コサイン類似度
    """
    【    問04    】
    print('num = {}'.format(num))
    【    問05    】
    print('den_u = {:.3f}'.format(den_u))
    【    問06    】
    print('den_i = {:.3f}'.format(den_i))
    
    cosine = num / (den_u * den_i)
    return cosine

コード

u = 0
i = 7
print('cos(p{}, x{}) = {:.3f}'.format(u, i, cos(pu, x[i])))
u = 0
i = 11
print('cos(p{}, x{}) = {:.3f}'.format(u, i, cos(pu, x[i])))

結果

num = 24.0
den_u = 5.385
den_i = 4.472
cos(p0, x7) = 0.997
num = 34.0
den_u = 5.385
den_i = 8.062
cos(p0, x11) = 0.783

このとき、関数の仕様を満たすように、次の問いに答えなさい。

04 ベクトルの内積

内積$\boldsymbol{p}_{u} \cdot \boldsymbol{x}_{i}$を求めるコードを書きなさい。得られた値をnumとすること。

★

@演算子を使う。

★

numpy.dot()を使う。

★★★

リスト内包表記を使う。
range()を使う。
numpy.sum()を使う。

★★★

numpy.sum()を使う。
@演算子を使わない。
numpy.dot()を使わない。
リスト内包表記を使わない。

05 ユーザプロファイルのノルム

$\boldsymbol{p}_{u}$のノルム$\| \boldsymbol{p}_{u} \|$を求めるコードを書きなさい。得られた値をden_uとすること。

★

numpy.linalg.norm()を使う。

★★

@演算子を使う。
numpy.sqrt()を使う。

★★★

リスト内包表記を使う。
range()を使う。
numpy.sum()を使う。
numpy.sqrt()を使う。

★★★

numpy.sum()を使う。
numpy.sqrt()を使う。
numpy.linalg.norm()を使わない。
@演算子を使わない。
numpy.dot()を使わない。
リスト内包表記を使わない。

06 特徴ベクトルのノルム

$\boldsymbol{x}_{i}$のノルム$\| \boldsymbol{x}_{i} \|$を求めるコードを書きなさい。得られた値をden_iとすること。

★

numpy.linalg.norm()を使う。

★★

@演算子を使う。
numpy.sqrt()を使う。

★★★

リスト内包表記を使う。
range()を使う。
numpy.sum()を使う。
numpy.sqrt()を使う。

★★★

numpy.sum()を使う。
numpy.sqrt()を使う。
numpy.linalg.norm()を使わない。
@演算子を使わない。
numpy.dot()を使わない。
リスト内包表記を使わない。

推薦

スコア関数$\mathrm{score}(u, i)$はユーザ$u$がアイテム$i$を好む程度をスコアとして返す関数であり、次式のように定義される。

\[\mathrm{score}(u, i) = \mathrm{cos}(\boldsymbol{p}_{u}, \boldsymbol{x}_{i})\]

このスコア関数を次のコードのとおり定義する。

関数

def score(u, i):
    """
    スコア関数：ユーザuのアイテムiに対するスコアを返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID（ダミー）
    i : int
        アイテムiのID

    Returns
    -------
    float
        スコア
    """
    return cos(pu, x[i])

順序付け関数$\mathrm{order}(u, I)$は、アイテム集合$I$が与えられたとき、ユーザ$u$向けの推薦リストを返す関数である。ここでは、スコア上位$K$件のアイテム集合を推薦リストとして返すものとする。この順序付け関数を次のコードのとおり定義する。

def order(u, I):
    """
    順序付け関数：アイテム集合Iにおいて、ユーザu向けの推薦リストを返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID
    I : ndarray
        アイテム集合

    Returns
    -------
    list
        タプル(アイテムID: スコア)を要素にした推薦リスト
    """
    【    問07    】
    print('scores = ')
    pprint.pprint(scores)
    【    問08    】
    return rec_list

コード

u = 0
rec_list = order(u, Iu_not)
print('rec_list = ')
for i, scr in rec_list:
    print('{}: {:.3f}'.format(i, scr))

結果

scores = 
{7: 0.9965457582448796,
0.9832820049844603,
0.9656157585206697,
0.8541985556144386,
0.783110847498294,
0.9191450300180578}
rec_list = 
0.997
0.983
0.966